ノルム空間の完備化について

一般にnorm空間Eが定義されていれば、Eが完備でなくてもEから完備norm空間、つまりBanach空間E’を構成することができます。具体的に言うと、EからE’への等長写像が構成でき、その像ImEがEの中で稠密となるというものです。証明が気になる方は、Eidelman の"functional analysis”のp19をご覧ください。(Hint:EのCauchy列全体を考えてそこにあるsemi normを導入する。そしてある閉部分空間で割ることを考える。quotient spaceはこのsemi normで自然にnorm空間になる。あとはこの空間の完備性とImEが稠密であることを言えば良い。等長なのはsemi normの定義からほぼ明らかになります。)