直近の予定
Functional analysisの課題が終わってNonlinear analysisの課題もあと少しで終わりそうなので、これからやらなければならないことを明記しておきたいと思います。
1.情報基礎の課題
2.mathematical statistics
今週はこの２つを終わらせるつもりで頑張ります。
今日やること
今日は授業がないのですが、課題がたくさんあるのでそれを終わらせないといけないです…。
1functional analysis
2 nonlinear analysis
これらを終わらせてもまだ来週までの課題と数理統計の勉強があるのでここ数日は数学の勉強はできなさそうです…。
Introduction To Topological Manifolds
今日、Lee教授の”Intoroduction To Topological Manifolds”を購入しました。大学でsaleで売っていたのと、組合員なので定価の3割引きくらいで買えました。大学の課題などが忙しくてすぐに読み進められるか分かりませんが、学んだ内容について紹介する予定です。
閉区間上の連続関数全体の完備性は？
今日は閉区間上の連続関数全体が完備であるかどうかについて学びました。まずノルムを入れないと話は始まりませんが、一般的なpノルムを入れるものとします。(1≦p≦∞)この時、p≠∞ではこのノルムは完備ではありません。証明は意外と簡単で、[a,b]上の連続関数の列でpノルムに関してCauchy列でその極限関数が不連続となるものが容易に考えられます。(たとえば折れ線で考えてみてください。)pノルムに関して収束するためには、この不連続関数に収束するしかなくなることが導けます。収束先が連続関数でなくなってしまったのでこのノルム空間は完備ではないわけです。一方でp＝∞の時は、ノルムはsupで考えているので連続関数のCauchy列は一様収束します。微積でおなじみの一様収束する連続関数列の極限関数はまた連続であるから、完備性が言えるわけです。Lp空間というのは、このノルム空間を完備化したものになっています。
ノルム空間の完備化について
一般にnorm空間Eが定義されていれば、Eが完備でなくてもEから完備norm空間、つまりBanach空間E’を構成することができます。具体的に言うと、EからE’への等長写像が構成でき、その像ImEがEの中で稠密となるというものです。証明が気になる方は、Eidelman の"functional analysis”のp19をご覧ください。(Hint:EのCauchy列全体を考えてそこにあるsemi normを導入する。そしてある閉部分空間で割ることを考える。quotient spaceはこのsemi normで自然にnorm空間になる。あとはこの空間の完備性とImEが稠密であることを言えば良い。等長なのはsemi normの定義からほぼ明らかになります。)
